Tension: Example

00:01 Hier ist ein gutes Beispiel für eine Art von Flaschenzugproblem, wo Sie Seile und Kisten zusammen sehen können.

00:07 Angenommen, eine Masse von 10 kg befindet sich an einem Hang, dieses Mal an einem Seil befestigt, das seinerseits über eine Umlenkrolle an der Spitze läuft und mit einer 15 kg schweren Masse, die nur am Seil hängt.

00:18 Die Frage ist hier, ob der Hang einen Winkel von 30 Grad mit der Horizontalen hat und ob die Massen aus der Ruhelage starten? Wie lange wird es dauern bis die 15 kg schwere Masse fällt? Oder sorry, wie weit fällt die 15 kg schwere Masse in einer Zeit von 1 Sekunde, wenn sie mit dieser anderen Masse am Hang verbunden ist? Auch hier sollten Sie also zunächst einen Versuch wagen und sehen, ob Sie ein Bild wie dieses verwenden können, die Sie bereits mit den Kräften in Kontakt bringt, so können Sie einige der hier aufgeführten Kräfte sehen, die Sie sich merken sollten, und versuchen herauszufinden, wie weit die 15 kg schwere Masse M2 in einer Zeit von 1 Sekunde fallen wird.

00:51 Was wir hier aufgeführt haben, ist eine Zugkraft, die auf die zweite Masse nach oben wirkt.

00:56 Es wirkt sich auch auf die Steigung der ersten Masse aus, und wie ich gerade erwähnt habe, sind diese Spannungskräfte gleich groß.

01:02 Sie werden gleich groß sein, weil sie sich auf dasselbe Seil beziehen.

01:05 Außerdem wird die zweite Masse durch die Schwerkraft nach unten gezogen und die Masse am Hang hat eine vom Hang ausgehende Normalkraft, die wiederum versucht, die Box daran zu hindern, in den Hang hinein oder aus ihm heraus zu fahren.

01:16 Und wir haben auch die Gravitationskraft direkt nach unten, die ich schattiert habe, denn in diesem Bild können Sie bereits sehen, dass wir die Gravitationskraft in ihre beiden Komponenten zerlegt haben, eine in x-Richtung und eine in y-Richtung.

01:27 Sie sind hier noch einmal aufgeführt, Stellen Sie sicher, dass Sie die richtigen Winkel wählen.

01:31 Dies ist also Fg der ersten Box mal dem Kosinus von Theta und dann den Hang hinunter haben wir Fg für die erste Box mal den Sinus von Theta.

01:40 Und schließlich wollen wir sicherstellen, dass wir ein Koordinatensystem einführen, und Sie können jedes beliebige Koordinatensystem einführen, solange Sie dieses Koordinatensystem während des gesamten Problems beibehalten.

01:49 Schauen wir uns also an, wie dieses Problem aussieht.

01:52 Wir wollen herausfinden, wie weit diese Kiste in einer Zeit von 1 Sekunde fällt.

01:57 Ich nenne das d. Angenommen, wir wollen d für dieses Objekt finden, das aus einer bestimmten Entfernung fällt.

02:03 Das Erste, was wir tun müssen, ist, da wir ein Koordinatensystem für diese erste Box hier drüben haben.

02:08 Wir sollten auch für das zweite Feld ein Koordinatensystem haben, denn wir werden Newtons zweites Gesetz für den ersten Kasten und für den zweiten Kasten anwenden.

02:18 Wir brauchen also auch für die zweite Box ein Koordinatensystem.

02:20 Ich werde also sagen, dass die Richtung nach oben die positive x-Richtung für diesen Kasten ist.

02:26 Der Grund, warum ich das tue, ist einfach, dass ich konsequent sein will mit dem Koordinatensystem, das wir für die erste Box sehen.

02:32 Das ist nicht notwendig, solange Sie vorsichtig sind.

02:34 Aber es ist immer eine gute Idee, wenn Sie sehen, dass die Bewegung der ersten Box und die zweite Box zusammengelegt werden.

02:40 Mit anderen Worten: Wenn der erste Kasten in die positive x-Richtung des ersten Kastens geht, ist es aus meinem Diagramm ziemlich klar, dass der zweite Kasten, die hängende Masse, ebenfalls nach oben gehen wird.

02:51 Das bedeutet, dass diese Bewegung eine korrespondierende Bewegung ist.

02:54 Wir können also sagen, dass sie sich beide in eine positive x-Richtung entwickeln, und dies kann einige Dinge für Sie klären und vermeiden, dass es später zu Verwechslungen mit Ihren Zeichen kommt.

03:02 Unter Verwendung dieser Konvention schreiben wir also das zweite Newtonsche Gesetz für jeden Kasten.

03:05 Schreiben wir also zunächst für die erste Box die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes für alle Kästchen in x-Richtung.

03:13 Für die erste Kiste in x-Richtung gilt also: Fx ist gleich der Masse der ersten Kiste mal ihrer Beschleunigung.

03:21 Die Kräfte sind Fg mal Sinus von Theta in positiver x-Richtung und dann haben wir die Zugkraft, die in der Minus-X-Richtung für diese erste Box wirkt.

03:38 Dies ist gleich der Masse der ersten Kiste mal ihrer Beschleunigung.

03:43 Was hier vielleicht etwas verwirrend ist, ist die Tatsache, dass wenn wir die Kräfte in diese Diagramme einzeichnen, wir den Betrag der Kraft mit Fg1 Sinus von Theta beschreiben, aber wir die Richtung mit einem Pfeil angeben.

03:55 Ich setze also keine Minus- oder Pluszeichen für die Kräfte im Diagramm ein.

04:00 Ich gebe nur Richtungen mit Pfeilen an.

04:02 Ich habe also eine Zugkraft, die in negativer x-Richtung für diesen Kasten wirkt, aber ich habe nicht minus die Zugkraft geschrieben, sondern nur die Zugkraft selbst.

04:10 Jetzt haben wir also die Zugkraft und Fg mal den Sinus von Theta, die in positiver Richtung wirken, und das sagt uns diese Gleichung.

04:17 Schauen wir uns nun an, wie das für die zweite Box aussieht.

04:21 Und für die zweite Box haben wir eine Kraft in positiver x-Richtung, eine Zugkraft und dann minus, weil diese Kraft in die negative Richtung wirkt, Fg2.

04:33 Dies ist gleich der Masse der zweiten Kiste mal der Beschleunigung der zweiten Kiste.

04:39 Ich werde hier eine Vereinfachung vornehmen, und dies ist eine sehr wichtige physikalische Erkenntnis, die man bei einem Problem wie diesem haben sollte.

04:45 Nämlich, dass diese beiden Boxen ein gekoppeltes System sind und damit meine ich, wenn sich eine bewegt, bewegt sich auch die andere.

04:50 Jedes Mal, wenn zwei Objekte auf diese Weise gekoppelt sind und sich gemeinsam bewegen müssen, werden sie die gleiche Beschleunigung haben.

04:57 Die Beschleunigung der ersten Box und die Beschleunigung der zweiten Box müssen also gleich sein, denn sie bewegen sich zusammen.

05:03 Ich werde also nur einen Buchstaben einführen, was dasselbe sein wird wie a1 und a2.

05:09 Es ist die gleiche Beschleunigung. Wenn das stimmt, haben wir zwei Gleichungen und wir würden gerne die Beschleunigung bestimmen. Der Grund ist, wenn wir die Beschleunigung kennen, können wir herausfinden, wie weit sich diese Box in einer bestimmten Zeit, in diesem Fall 1 Sekunde, bewegt.

05:23 Wir wollen also sehen, ob wir diese Beschleunigung mit zwei Gleichungen finden können.

05:26 Wir haben zwei Gleichungen und zwei Unbekannte.

05:29 Die Unbekannten, die wir haben, sind die Kraft der Spannung, die wir nicht kennen, und die Beschleunigung, die wir ebenfalls nicht kennen.

05:34 Aber immer dann, wenn man die gleiche Anzahl von Unbekannten hat wie Gleichungen, können Sie immer sicher sein, dass Sie in der Lage sind, diese Gleichungen zu lösen.

05:42 Es gibt mehrere Möglichkeiten, zwei Gleichungen wie diese zu lösen.

05:45 Ein einfaches, wenn Sie ein Muster erkennen, wie wir es hier sehen ist, dass in der ersten Gleichung ein Minus an Spannung steht und eine zusätzliche Spannkraft in der zweiten Gleichung.

05:53 Sie können also etwas tun, das darin besteht, die beiden Gleichungen zu addieren.

05:57 Ich addiere also nur die linke Seite dieser Gleichungen minus Ft plus Ft ist gleich Null plus Fg1 Sinus von Theta und dann haben wir a minus Fg2.

06:13 Ich habe also nur die linke Seite der beiden Gleichungen addiert aus dem einfachen Grund, dass sich die Spannungskräfte in diesem Fall eindeutig aufheben würden.

06:19 Dies ist gleich der Summe der rechten Seite, also m1a plus m2a.

06:28 Um das zu verdeutlichen, werde ich die rechte Seite dieser Gleichung schnell umschreiben auf eine Art und Weise, die uns etwas über die Physik dieses Problems zeigen könnte, also lassen Sie uns das tun.

06:36 Wenn ich die Masse und die Beschleunigung herausrechne, können Sie etwas sehen, das genau wie das zweite Newtonsche Gesetz aussieht, wenn ich das zweite Newtonsche Gesetz für das gesamte Problem auf einmal geschrieben hätte.

06:52 Mit anderen Worten: Was wäre, wenn ich mein System überdenken würde? Die Sache, die ich mir anschaue, sind beide Boxen zusammen.

06:58 Wenn ich das tue, kann ich sagen, welche Kräfte von außen auf die Kisten wirken.

07:03 Mit anderen Worten: Wir betrachten nicht die internen Kräfte eines Systems, also Teile des Systems, die miteinander agieren, wie die Spannungen hier, wo beide Boxen aufeinander einwirken.

07:10 Wenn ich mir das ganze System als eine einzige Sache vorstelle und frage, welche Kräfte auf mein gesamtes System wirken, dann wären diese Kräfte die Gravitationskräfte, die eine Kiste in die eine Richtung und eine Kiste in die andere Richtung ziehen.

07:21 In diesem Fall würde ich F gleich ma setzen.

07:24 Mit anderen Worten: Die auf mein System wirkenden Kräfte sind gleich der Masse meines Systems m1 plus m2 mal die Beschleunigung meines Systems.

07:32 Sie sehen also, dass es viele Möglichkeiten gibt, unser Problem anzugehen.

07:35 Wenn wir schlau wären, hätten wir versuchen können, direkt zu diesem Punkt zu springen.

07:38 So hätten wir dieses System von Anfang an als Ganzes betrachtet, aber das war für die Lösung dieses Problems überhaupt nicht notwendig.

07:42 Haben wir also eine Gleichung wie diese, können wir einfach die Beschleunigung ermitteln, indem wir beide Seiten durch die Masse teilen.

07:47 Wir haben also Fg1 mal den Sinus von Theta minus Fg2 geteilt durch die Gesamtmasse des Systems m1 plus m2.

07:57 Das ist unsere Beschleunigung, jetzt müssen wir nur noch einen letzten einfachen Schritt tun, was bedeutet, dass wir unsere Bewegungsgleichungen ein weiteres Mal anwenden müssen.

08:03 Wir sagen, dass die Ausgangsposition der zweiten Box, so ist dies die Masse m2, gleich der Endposition der Masse m2 ist oder die Endposition der Masse m2 gleich ihrer Anfangsposition ist, plus seine Anfangsgeschwindigkeit mal Zeit plus 1/2 seiner Beschleunigung, die wir gerade gefunden haben, mal die Zeit im Quadrat.

08:23 Wenn wir wollen, können wir diese Ausgangsposition Null nennen oder was immer wir wollen.

08:28 Es ist eigentlich egal, wie wir es nennen, denn wir suchen nur nach der Entfernung, die Gesamtstrecke, die es zurückgelegt hat, unabhängig davon, wie wir seine ursprüngliche Position nennen.

08:34 Wir können also sagen: x minus x Null oder Endposition minus Ausgangsposition.

08:39 Mit anderen Worten, die Strecke, die sie zurückgelegt hat, oder die Verschiebung, wie wir sie eingeführt haben, wird gleich sein, wie wir sie eingeführt haben, wird gleich sein.

08:48 wir glauben nicht, dass es vorbei war oder das Problem gibt uns, dass sie sich anfangs nicht bewegt hat, sonst hätten sie uns eine Geschwindigkeit gegeben,gleich 1/2 der Beschleunigung, die wir gerade gefunden haben, lso setzen wir das Ganze hier ein, Fg1 Sinus von Theta minus Fg2 geteilt durch die Gesamtmasse m1 plus m2 mal die Zeit im Quadrat.

09:13 Und natürlich ist das letzte, was wir bei jedem Problem tun müssen, dass wir unsere Zahlen eintragen, also lassen Sie uns das jetzt tun.

09:19 Wir haben 1/2 und jetzt haben wir eine 15 kg und eine 10 kg Masse.

09:24 Wir haben also die Masse 1 mal g1 Sinus dieses Winkels, was immer noch ein 30-Grad-Winkel aus dem ursprünglichen Aufbau ist.

09:38 Der Sinus von 30 Grad ist also 1/2 minus der Schwerkraft auf die Masse 2.

09:46 Das ist die Masse 2 mal g geteilt durch die Gesamtmasse, also die Summe der Massen.

09:51 Wir haben t zum Quadrat, wobei die Zeit 1 Sekunde beträgt, und das ändert nichts an unserer Berechnung.

09:58 Lassen Sie uns also hier unser endgültiges Fazit schreiben.

10:00 Lassen Sie uns diese Gleichung an einer letzten Stelle fortsetzen, wir sind fast fertig.

10:04 Wir haben das 1/2-fache, rechnen wir das g heraus, haben wir die Masse 1 geteilt durch 2.

10:10 Das ist 10 geteilt durch 2 oder 5 minus Masse 2, das ist 15 geteilt durch die Gesamtmasse, was 10 plus 15 oder 25 ist, und wir haben das g herausgerechnet.

10:26 Das sind also ungefähr 10, wie wir in diesen Problemen vermuten.

10:30 Dann erhalten wir unsere Antwort, die 1/2 ist, und die 10 können wir streichen und erhalten eine 5.

10:36 Du weißt, dass 5 minus 15 minus 10 ist, also haben wir minus 10 mal 5 über 25, was minus 2 ist.

10:46 Diese Antwort hat also etwas Interessantes an sich.

10:49 Zunächst einmal ist sie negativ. Wir haben ein Minus von 2 Metern für die Entfernung, die dieses Ding zurückgelegt hat.

10:53 Aber das macht in unserem Koordinatensystem durchaus Sinn.

10:55 Betrachten Sie unser Koordinatensystem. Es begann mit dieser Annahme, die wir die Aufwärtsrichtung nennen, die positive x-Richtung.

11:02 So sollte ich erwarten, wenn ich die Verdrängung finde, dass die Verschiebung eine negative Zahl sein wird, weil sich das Objekt nach unten bewegt.

11:08 Achten Sie also bei der Lösung von Problemen darauf, dass Sie Ihre Minuspunkte und Ihre Pluspunkte im Auge behalten und stellen Sie sicher, dass es eine physische Intuition dahinter gibt und letztendlich macht es auch Sinn, denn oft reicht ein Blick auf die Plus- und Minuszeichen und wir können herausfinden, ob eine gegebene Antwort richtig oder falsch ist.