Springs and Pendulums

00:01 Nachdem wir nun eine Vorstellung von einigen grundlegenden Welleneigenschaften haben und wie man sie beschreiben und messen kann, sind wir bereit, zwei besondere mechanische Beispiele für periodische Bewegungen zu besprechen, nämlich Federn und Pendel.

00:14 Ausgehend von Federn können wir eine neue Kraft einführen.

00:18 Damit sind wir wieder einmal bei den Newtonschen Gesetzen angelangt, die wir besprochen haben.

00:23 Sie erinnern sich vielleicht, dass wir eine ganze Vorlesung hatten, in der wir über alle möglichen wichtigen Kräfte gesprochen haben.

00:27 Wir sprachen über die Schwerkraft und wir sprachen über eine Reihe von anderen Kräften einschließlich Reibung und der Normalkraft.

00:32 Diese Kraft hier wäre ein weiteres Beispiel für eine sehr wichtige Kraft, deren man sich bewusst sein sollte.

00:36 Hierbei handelt es sich um die Federkraft.

00:38 Was uns diese Gleichung sagt, ist, dass die Kraft, die eine Feder ausübt, wenn man ein Objekt bewegt, welches an dieser Feder befestigt ist, gleich minus k - die Federkonstante (im Deutschen meistens als D beschrieben) - multipliziert mit x, wobei x die Auslenkung des Objektes von der Ruhelage der Feder aus beschreibt.

00:56 Wir könnten eine Feder von dieser Ruhelage aus dehnen und ein wenig ausführlicher über diese Position sprechen.

01:05 Wenn ich also dieses an einer Feder befestigte Objekt Feder nehme und daran ziehe und die Feder von diesem x=0-entsprechenden Punkt aus dehne, der so genannten Ruhelage der Feder oder dem Punkt, an der sie ausgeglichen ist, wo keine Kraft in eine der beiden Richtungen auf sie wirkt, wird die Feder immer versuchen, sich in ihre ursprüngliche Position zurückzubewegen, und das ist die Begründung für das negative Vorzeichen in dieser Kraftgleichung.

01:27 Wenn ich an diesem Objekt ziehe, sorgt das Minuszeichen dafür, dass die Feder versucht sich in die Ausgangsstellung zusammenzuziehen, während sie, wenn ich sie zusammendrücke, versuchen wird, mich wegzudrücken und wieder zur Ruhelage zurückzukehren.

01:38 Wenn ich das Objekt greife und es von der Ruhelage weg in eine bestimmte Position ziehe, würden wir diese Auslenkung als Amplitude bezeichnen.

01:46 Wenn das der Punkt wäre, bis zu dem ich das Objekt ausgelenkt hätte und ich dann loslasse, hätten wir eine Schwingung, sodass sich das Objekt von links nach rechts, nach links und wieder nach rechts bewegen würde.

01:54 Und wenn man es sich vorstellt, kann man es sehen, sich das Objekt dabei über die Ruhelage hinaus bewegen würde und dann wieder zur Ruhelage zurück, und dann wieder über die Ruhelage hinaus bewegen und wieder zur Ruhelage zurückkehren würde.

02:01 Die größte Entfernung, die sie sich von der Ruhelage entfernt, wird als Amplitude der Bewegung bezeichnet und dies ergibt sich genau aus unserer Definition der Amplitude, als wir darüber gesprochen haben, wie man Wellen beschreiben kann.

02:12 Wenn wir das Objekt also wieder von dieser Ruhelage wegziehen, wird die resultierende Kraft nach links gerichtet sein, da diese Feder in diesem Fall versucht, das Objekt zurück in die Ruhelage zu bewegen und die Geschwindigkeit dieses Objektes vor dem Loslassen wäre gleich Null.

02:26 Lassen Sie uns also die Bewegung verfolgen.

02:28 Wenn wir loslassen, wird das Objekt zurückgezogen und dabei die Ruhelage passieren. Aber, wenn es die Ruhelage passiert, besitzt es eine gewisse Geschwindigkeit, da es gezogen und beschleunigt wurde.

02:37 Dann passiert es diese Ruhelage, und bewegt sich weiter, und bewegt sich zu weit, es überkorrigiert also irgendwie, und dann ist die Feder zusammengedrückt.

02:45 Und wenn die Feder zusammengedrückt ist, wirkt wieder eine Kraft nach rechts, um die Ruheposition wiederherzustellen.

02:51 Genau dann, wenn sie die negative Amplitude erreicht hat, genau denn, wenn sie so stark wie möglich komprimiert ist, ist die Geschwindigkeit unseres Objektes wieder gleich null und dann passiert das Gleiche, wie zuvor.

03:01 Es wird zurückgedrückt werden und sich dabei noch einmal über die Ruhelage hinaus bewegen und sich dann weiter so bewegen und dann haben wir eine oszillierende Bewegung.

03:07 Dies wird sich immer wieder wiederholen und unsere periodische Bewegung bestimmen.

03:11 Was wir bei dieser periodischen Bewegung machen können, ist der Versuch, einige ihrer Eigenschaften genauer zu beschreiben, die wir bereits besprochen haben, wie die Frequenz und die Periode der Bewegung.

03:20 Diese Variable k (im Deutschen hier meist D verwendet), die ich kurz erwähnt habe, wird als Federkonstante bezeichnet.

03:25 Sie beschreibt, wie stark die Feder ist.

03:27 Wenn es sich also um eine sehr dicke Feder handelt, die wir bereits vor einigen Kapiteln besprochen haben.

03:32 Bei einer sehr dicken Feder haben wir eine sehr hohe Zahl, bei einer sehr dünnen, leicht zu streckenden Feder haben wir eine sehr niedrige Zahl.

03:39 Diese Feder wird dir also nicht mit viel Kraft entgegenwirken.

03:42 Wenn wir also den Fall haben, dass wir also eine gewisse Masse an unserer Feder befestigt haben, besitzt diese Masse also eine gewisse Trägheit und wird sich also nicht bewegen wollen.

03:50 Wir setzen dies in unsere Bewegungsgleichungen und das zweite Newtonsche Gesetz ein und haben dabei eine Feder mit einer Federkonstante k.

03:56 Dabei stellt sich heraus, - Wir werden die Herleitung nicht besprechen, weil Differential- und Integralrechnung verwendet wird und sie etwas lang ist. - Wichtig zu wissen ist nur, dass sich die Frequenz für eine Federbewegung, die sich hin und her bewegt, die Anzahl der Zyklen pro Sekunde, als 1/2 Pi multipliziert mit der Quadratwurzel aus der Federkonstante geteilt durch die Masse, die an der Feder befestigt ist, berechnen lässt und die Periode dieser Bewegung, die Zeit bis zum Beginn der Wiederholung genau derselben Bewegung, nun, nach unserer Definition, dem Kehrwert der Frequenz entspricht.

04:28 Daher musst du dir sich nicht sowohl die Frequenz als auch die Periode merken.

04:31 Du kannst dir einfach eine von ihnen einprägen oder dich zumindest mit den Eigenschaften von einer vertraut machen und dir merken, dass die andere immer nur dem Kehrwert entspricht, was bei der Formel für die Periode hier auch der Fall ist.

04:40 Das Letzte, was wir auch mit dieser Feder tun können, ist den Energieerhaltungssatz anzuwenden. Aus diesem Grund habe ich die Geschwindigkeit hervorgehoben.

04:49 Wir haben gesagt, dass, wenn die maximale positive Amplitude erreicht ist oder genau bei der maximalen negativen Amplitude, kurz bevor wir loslassen oder genau dann, wenn die Feder maximal zusammengedrückt ist, an diesen Positionen die Geschwindigkeit gleich null ist.

04:58 Für die Position, wenn das Objekt den Nullpunkt, bzw. die Ruhestellung passiert, hatten wir gesagt, dass es eine Geschwindigkeit ungleich Null besitzt, und tatsächlich finden wir dort die maximale Geschwindigkeit, die es erreicht.

05:10 Also durch den Energieerhaltungssatz wissen wir, dass wir die ursprüngliche Energie, die das Objekt besessen hat, bevor wir es losgelassen haben, also nachdem wir es zurückgezogen und kurz bevor wir es losgelassen haben, die Anfangsenergie, festlegen können, genauso wie die Endenergie, an dem Punkt, an dem das Objekt den Nullpunkt passiert.

05:25 Wie bei der Gravitationsenergie, der kinetischen Energie und der potenziellen Energie, können wir einfach die Gesamtenergie an jedem dieser Punkte gleichsetzen.

05:32 Die Energie zu Beginn setzt sich also zusammen aus kinetischer und potentieller Energie und dann, beim Passieren des Nullpunkts, ebenfalls aus kinetischer und potentieller Energie.

05:41 Aber angesichts dessen, was wir gerade besprochen haben, beträgt die kinetische Energie zu Beginn, vor dem Loslassen Null, weil wir keine Geschwindigkeit haben, während die potentielle Energie, wenn sich das Objekt genau am Nullpunkt befindet, ebenfalls Null beträgt, weil die Feder weder gedehnt noch gestaucht wird, also keine Energie in der Feder gespeichert ist.

05:58 So können wir die obige Gleichung vereinfachen, in welcher wir die Energie zu Beginn mit der Energie am Nullpunkt vergleichen, indem wir die beiden eben genannten Energien auf Null setzen und so eine viel einfachere Gleichung erhalten.

06:07 Diese sagt nichts anderes aus, als dass die in der Feder gespeicherte potentielle Anfangsenergie - k mal die Amplitude der Feder zum Quadrat bzw. die Amplitude der Auslenkung vom Nullpunkt zum Quadrat.

06:18 diese Formel kennen wir von der Lageenergie der Feder, auch Spannenergie genannt, die wir ein paar Vorlesungen zuvor besprochen haben, wobei wir die Amplitude als Lage verwendet haben. - ist gleich der kinetischen Energie, wenn das Objekt den Nullpunkt passiert und wir wissen bereits, dass die Gleichung für die kinetische Energie 1/2 m mal v zum Quadrat lautet.

06:35 Du kannst hier sehen, dass diese Herleitung genau der Herleitung entspricht, die wir durchgeführt haben, als wir über die Schwerkraft oder andere Kräfte gesprochen haben, als wir die kinetische und potentielle Energie an verschiedenen Punkten untersucht haben und dann mit Hilfe einiger Dinge, die wir über das Problem wussten, vereinfacht haben, dass du in einem Fall vielleicht keine kinetische Energie hast, weil du dich nicht bewegst, und dann in einem anderen Fall, vielleicht keine potentielle Energie hast, weil du in Bezug auf das, was deine potentielle Energie bedingt, nicht ausgelenkt bist.

06:59 Es handelt sich also um dieselbe Art von Vorgehen, wenn man diese Energien einander gleichsetzt, durch den Energieerhaltungssatz und natürlich unter der Annahme, dass keine Energie durch Reibung oder Hitze oder Ähnliches verloren geht.

07:09 Wir können nach der Geschwindigkeit auflösen, die das Objekt beim Durchgang durch den Nullpunkt hat, da wir einige Eigenschaften der Feder kennen und wissen, wie groß die Masse des Objekts ist, das wir mit der Feder bewegen wollen.

07:22 Diese Geschwindigkeit kannst du also selbst bestimmen.

07:24 Wir würden etwas erhalten, das so aussieht.

07:26 Wir haben die Amplitude multipliziert mit der Quadratwurzel aus k, der Federkonstante, geteilt durch die Masse des Objekts, das du zu bewegen versuchst.

07:32 Diese Art Anwendung des Energieerhaltungssatzes mit einer Federgleichung wie dieser ist sehr, sehr häufig besonders in Bezug auf Federn, weil es als sehr wichtig gilt, die Federkraft zu kennen, die wir als F gleich minus k multipliziert mit x eingeführt haben.

07:47 Sei dir bewusst, dass dies als das Hookesche Gesetz bezeichnet wird.

07:49 Wir bezeichnen es als eine Rückstellkraft, da sie versucht, ein Objekt wieder in seine Ursprungsform zu bewegen.

07:53 Außerdem solltest du auch die potenzielle Energie einer Feder kennen.

07:58 Dies ist eine weitere, sehr wichtige Gleichung bei der Betrachtung von Federn.

08:01 Das kommt also sehr, sehr oft vor.

08:03 Mach dich also mit dieser genauen Operation vertraut, wie du die kinetische Energie in Relation zur potenziellen Energie setzen und dann für einige Variablen auflösen kannst.

08:10 Oder vielleicht auch umgekehrt, du könntest zum Beispiel genau wissen, wie hoch die Geschwindigkeit ist, an dem Punkt, wenn die Ruhelage passiert wird, und die Amplitude ermitteln wollen, also wie stark die Feder zusammengedrückt oder gedehnt wird.

08:21 Sie sollten also mit genau dieser Art von Umstellung vertraut sein, wie wir sie hier haben.