Scientific Notation Example and Unit Analysis

00:00 Die Aufgabe, die Sie vor sich sehen, ist ein perfektes Beispiel dafür, wie wissenschaftliche Notationen verwendet werden. Die Zahlen sehen auf den ersten Blick so gewaltig aus, dass die Berechnung wirklich einschüchternd wirkt. Vor allem dann, wenn man in einer Prüfung sitzt und versucht, Zeit zu sparen.

00:15 Das werden wir gleich bei dieser Aufgabe versuchen, indem wir die wissenschaftliche Schreibweise verwenden.

00:20 Ich möchte, dass Sie versuchen diese Aufgabe mit der Hilfe dieser Schreibart zu lösen, um zu sehen, ob Sie den Prozess so beschleunigen können. Pausieren Sie kurz das Video und versuchen Sie es gleich einmal. Also, verschwenden wir keine Zeit mehr, machen wir uns an die Arbeit.

00:32 Wenn wir diese Aufgabe mit Hilfe der wissenschaftlichen Notation lösen wollen, müssen wir als Erstes jede unserer drei Zahlen in die bereits bekannte Form umschreiben. Zuerst schreiben wir die Zahl 3200 um, indem wir den Dezimalpunkt von rechts nehmen und ihn um ein, zwei, drei Stellen verschieben.

00:47 Dadurch ergibt sich 3,2 x (mal) 10³ (hoch 3). Das ist jetzt genau dieselbe Zahl wie zuvor, nur in einer anderen Schreibweise. Wenn wir das Gleiche mit der nächsten Zahl machen, sehen wir eine Verschiebung des Kommas um ein, zwei, drei, vier, fünf, sechs Stellen. Das wäre also 5 mal 106 (hoch sechs). Schließlich gibt es noch eine sehr lange Zahl, die um ein, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun Stellen verschoben wird.

01:12 Diese Zahl, die wir jetzt teilen, entspricht also 2,5 mal 109 (hoch 9).

01:21 Um die Berechnung zu vereinfachen, werden wir nichts einfach überspringen, sondern jedes dieser Präfixe, die 3,2; die 5 und die 2,5; einzeln nach vorne bringen.

01:34 3,2 x (mal) 5 / (dividiert durch) 2,5. Dann können wir das Ganze noch viel einfacher gestalten, indem wir alle Potenzen von 10 hier auf der rechten Seite einsetzen. Wir haben also 10³ mal 106, geteilt durch 109.

01:54 Als Letztes müssen wir uns alle Regeln für die Multiplikation von Exponenten einprägen, und die sehen wie folgt aus: 103 mal 106 ergibt, Nach Analyse bzw. Addition den Hochzahlen, 103+6 (hoch 3 + 6) = 109 nach dem Zusammenfassen dieser Hochzahlen ergibt sich somit folgende Rechnung: 109 (hoch 9) / 109 (hoch 9).

02:17 Wir sehen also, dass sich diese Zahlen aufheben und 1 ergeben. Diese gesamte Gleichung auf der rechten Seite vereinfacht sich somit zu 1. Das bedeutet: Alles, was wir tun müssen, ist die Zahlen vorne zu analysieren.

02:29 3,2 x (mal) 5 / (geteilt durch) 2,5. Ein einfacher Weg, das zu schaffen, wäre zu sehen, wie oft 2,5 in 5 enthalten ist, nämlich 2x. Somit vereinfacht sich das Ganze auf 3,2 x (mal) 2, was 6,4 ergibt.

02:47 Das ist unsere endgültige Antwort, die viel einfacher aussieht als die ursprüngliche Aufgabe.

02:52 Ein Beispiel das zeigt: Die wissenschaftliche Notation ist eine großartige Möglichkeit, komplexe Probleme viel effizienter zu lösen. Man muss einfach nur die 10er-Potenzen berücksichtigen.

03:05 Jetzt gehen wir zur Einheitenanalyse über. Und hier ist ein großartiges Beispiel dafür, wie man sich die vorstellen kann.

03:11 Die Gleichung, die Sie jetzt vor sich sehen, ist nichts, was Sie jetzt auswendig lernen oder worüber Sie sich Sorgen machen sollten. Der Punkt ist, dass wir in naher Zukunft eine Gleichung wie diese finden werden.

03:21 Eine Bewegungsgleichung. Dabei hängt das x von vielen verschiedenen Variablen ab.

03:25 x = x0 + v0t und vielen anderen Dingen. Was uns interessiert, ist, was passiert, wenn man in einer Klausur sitzt und sich nicht mehr genau an die Formel erinnert, die man vor sich sieht.

03:37 Ob sie ein a x (mal) t enthält, ein halbes a x (mal) t oder ein halbes a x (mal) t² (zum Quadrat)? Mit Hilfe der Einheitenanalyse können wir schnell verstehen oder uns daran erinnern, welche dieser Einheiten es sein muss. Und das ohne auf Tabellen zurückgreifen zu müssen oder in Panik zu geraten. Das Ganze geht folgendermaßen: Ob x in der Abhängigkeit von a x (mal) t² zum Quadrat oder a x (mal) t abhängt, können wir anhand der Maßeinheiten herausfinden.

03:57 Diese Einheiten sind Etwas, das wir durchgehen und besprechen werden und das Sie von der physikalischen Grundlagen des Problems kennen. Vor allem werden wir für die Einheiten Klammern um die Variablen herum verwenden, so wie diese eckigen Klammern um x und um t, usw..

04:14 Klammern um x bedeuten also, dass es sich um Einheiten handelt, und in diesem Fall ist die Einheit von x Meter.

04:20 Das deutet eine Positionsvariable an. Die Einheiten von t sind Sekunden, da t unsere Zeitvariable ist.

04:26 Die werden wir gleich besprechen. Die Einheiten von a sind Meter pro Sekunde oder Meter pro Sekunde² (zum Quadrat).

04:33 Wenn man das weiß, kann man die Frage im Handumdrehen lösen: Hängt x von a x (mal) t² (zum Quadrat) ab oder von a x (mal) t? Wenn ich mir die Einheiten von a x (mal) t² (zum Quadrat) anschaue, kann ich sehen, dass die Einheiten der Beschleunigung Meter pro Sekunde² (zum Quadrat) sind. Wenn ich also mit t² (zum Quadrat) multipliziere, multipliziere ich mit Sekunden² zum Quadrat. Die quadrierten Sekunden aus dem Zähler von t² (zum Quadrat) und dem Nenner dieser Variablen a heben sich gleichmäßig auf und ergeben nur Meter, und das ist es, was wir wollen - nämlich Meter für diese Variable x. Wenn ich mir jedoch diese andere Größe ansehe, a x (mal) t, sind es nur Meter pro Sekunde² (zum Quadrat) mal Sekunden. Und nur eine dieser Einheiten von Sekunden hebt sich auf, so dass ich falsche Einheiten für x habe, von denen wir wissen, dass es Meter sein müssen. Es bleibt hier also bei Metern pro Sekunde.

05:24 So können wir sofort sehen, dass die Einheiten von Beschleunigung x (mal) Zeit, was dieses a (Beschleunigung) darstellt, die Einheiten von a x (mal) t falsch sind. Sie sind Meter pro Sekunde. Wenn wir uns also die Einheiten ansehen, können wir erkennen, dass die Einheiten für die Variable x, wenn man sie in eine Gleichung schreibt, a x (mal) t² (zum Quadrat) sein müssen.