Gradients of Straight and Curved Lines

00:01 Schauen wir uns also die Steigungen von geraden Linien und Kurven an.

00:04 Beginnen wir mit einem kleinen Rückblick.

00:06 Wir alle wissen, dass man die Steigung einer Geraden berechnen kann, indem die Änderung von y durch die Änderung von x geteilt wird.

00:16 Sie können die Steilheit oder das Gefälle jeder Art von geneigter Oberfläche messen.

00:21 Dabei betrachten wir die Veränderung der Werte der y-Achse im Verhältnis zur Veränderung der Werte der x-Achse.

00:28 Wir nennen diese Steigung m und verwenden die Schreibweise delta y über delta x oder vereinfacht die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x.

00:36 Stellen wir uns nun vor, dass wir dies mit einer Kurve tun.

00:42 Entwickeln wir zunächst eine entsprechende Kurve. Hier ist meine x-Achse und hier meine y-Achse.

00:52 Nun haben wir eine Kurve und beginnen, diese Kurve genauer zu betrachten.

00:58 Als erstes überlegen wir, wie wir die Steigung dieser Kurve bestimmen können.

01:01 Legen Sie einen Punkt der x-Achse fest. Dieser wird definiert als die Lösung von f von x. f von x nennen wir deshalb die Funktion von x.

01:11 Wenn Sie diesen x-Wert um einen kleinen Betrag ändern, sprechen wir von Delta x.

01:16 Wir gelangen dadurch zu einem neuen Punkt, den wir als x plus Delta x bezeichnen.

01:20 Als Ergebnis erhalten Sie einen neuen Wert auf der y-Achse, den wir als f von x plus Delta x bezeichnen.

01:28 Zwischen den beiden Punkten können wir uns eine verbindende Linie vorstellen.

01:33 und uns dann die Steigung dieser geraden Linie ansehen.

01:37 Wie gehen wir dabei vor? Wir verwenden einfach das gleiche Konzept wie zuvor bei der geraden Linie.

01:43 Wir haben gesagt, dass die Steigung m delta y geteilt durch delta x entspricht und wir wissen, dass dies einmal die Veränderung von y und einmal die Veränderung von x ist.

01:57 Die Veränderungen von y und x sind hier auf dem Bild sichtbar.

02:04 Hier haben wir also die Veränderung von y, und hier haben wir die Veränderung von x.

02:09 Berechnen wir nun, wie die Änderung von y hier aussehen würde. Die Änderung von y wäre in diesem Fall f von x plus delta x und man subtrahiert davon f von x, um den Wert zu erhalten, den wir gerade berechnet haben.

02:24 Ähnlich verhält es sich mit der x-Achse: Wir nehmen x plus delta x und ziehen x davon ab.

02:32 Setzen wir das jetzt in unsere Formel ein: Delta y geteilt durch delta x ergibt sich aus dem zuvor Besprochenen, nämlich aus der Veränderung von y gegenüber der Veränderung von x.

02:43 Unsere Änderung von y gegenüber der Änderung von x ist also folgende: Wir haben f von x plus delta x minus f von x und wir teilen das durch unsere Veränderung von x. Das ist dieser Teil hier.

02:56 Also x plus delta x minus x.

02:59 Die Schreibweise können wir etwas vereinfachen.

03:05 Plus x und minus x heben sich gegenseitig auf. Wir können das Ganze noch ein wenig verfeinern, indem wir eine andere Schreibweise für delta y durch delta x verwenden.

03:16 Im Rahmen der Differenzierung verwenden wir die Schreibweise dy/dx.

03:21 Wenn wir das umschreiben, erhalten wir f von x plus delta x minus f von x, alles geteilt durch delta x.

03:29 Das ist die Definition der ersten Ableitung.

03:40 Sie werden sehen, dass diese zur Lösung verschiedener Arten von Fragestellungen verwendet wird, auch für Fragen, die sehr viel schwieriger zu differenzieren sind.

03:55 Sie können sich also immer an dieser grundlegenden Definition der Differenzierung orientieren.

03:59 Allerdings gibt es ein kleines Problem.

04:02 Wie ich bereits sagte, haben wir uns die Steigung dieser Linie angesehen, aber die Differenzierung besteht im Wesentlichen darin, die Steigung eines einzelnen Punktes zu bestimmen.

04:13 Wir müssen also den Abstand zwischen den x-Werten verringern.

04:17 Dafür versuchen wir, delta x immer kleiner zu machen.

04:21 Genau genommen streben wir an, dass delta x gegen Null tendiert.

04:27 Wird die Änderung von x so klein haben wir nämlich ziemlich genau die Steigung eines singulären Punktes.

04:36 Wenden wir nun dieses Konzept an und betrachten den Grenzwert von dy/dx, wenn delta x gegen Null tendiert, dann ist das das Gleiche wie f von x plus delta x minus f von x über delta x.

04:55 Und das ist die formale Definition der Differenzierung oder wie ich schon sagte der ersten Ableitung.

05:08 Diese Definition werden wir im Kurs sehr oft verwenden, vor allem, wenn wir es mit Funktionen zu tun haben, die nicht so einfach zu differenzieren sind.

05:16 Wir werden immer wieder zu den Grundlagen oder zur Definition der Ableitung zurückkehren.