Noções Básicas de Probabilidades

Probabilidade e Fenómenos Aleatórios

Probabilidade

A probabilidade é uma ferramenta matemática usada para estudar a aleatoriedade e fornecer previsões sobre a possibilidade de algo acontecer.

• Abreviaturas:
  • A probabilidade é abreviada como P(evento).
  • Exemplo: P(A) refere-se à probabilidade do evento A acontecer.
• Os tipos de probabilidade incluem:
  • Probabilidade teórica: modelos matemáticos e não observações
  • Frequência relativa: observações e/ou medições
  • Probabilidade pessoal ou subjetiva: nada além de sentimentos pessoais

Exemplo de probabilidade:

Se você jogar uma moeda equilibrada, a probabilidade teórica de cara em qualquer lance é de 50%.

Lei dos grandes números (LGN)

• Quando um evento é repetido várias vezes, a proporção de vezes que o evento resulta num determinado resultado estabelecer-se-á em torno de um número específico.
• Esse número específico é a probabilidade do resultado.
• Refere-se a resultados a longo prazo (em vez de resultados a curto prazo)

Exemplo de resultados a curto prazo versus resultados a longo prazo:

Se você jogar uma moeda equilibrada, há 50% de chance de obter cara em qualquer lance. Se você lançar 10 caras seguidas, isso não aumenta a chance de obter cara no próximo lance (um resultado a curto prazo). A LGN significa que, num grande número de lançamentos de moedas, a frequência de obter caras será próxima de 50%.

Atribuição de probabilidade

• Se a probabilidade de um evento = 0, o evento nunca ocorrerá.
• Se a probabilidade de um evento = 1, o evento ocorrerá sempre.
• A probabilidade de um evento acontecer pode ser distribuída entre os possíveis resultados associados a ele.
• A soma da probabilidade de todos os resultados é 1.

A probabilidade de um evento (A) acontecer está entre 0 (certeza absoluta de que não ocorrerá) e 1 (certeza absoluta de sua ocorrência):

A soma de todas as probabilidades de todos os resultados possíveis num espaço amostral é 1:

Fenómenos aleatórios

Fenómenos aleatórios são situações em que os resultados possíveis são conhecidos, mas o que acontecerá é desconhecido.

• Podem ser observados durante o que é conhecido como ensaios, onde os resultados ocorrem.
• Espaço amostral: o conjunto de todos os resultados possíveis

Regras Básicas de Probabilidade

A regra do complemento

Alguns eventos têm apenas 2 resultados possíveis: o evento A ocorre ou o evento A não ocorre. O complemento do evento A é que o evento A não ocorre e é representado como A (ou A^C). A probabilidade de A ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade do próprio evento (A).

Exemplo: Você tem uma chance de 1 em 4 de tirar uma carta de paus de um baralho de cartas padrão. Qual é a probabilidade de você não tirar uma carta de paus?

Resposta: Neste exemplo, tirar uma carta de paus é o evento A e não tirar uma carta de paus é A. Se a chance de tirar uma carta de paus é 0,25, então A = 1 ‒ 0,25, que é 0,75.

Regra de eventos mutuamente exclusivos

Se 2 ou mais eventos não podem ocorrer simultaneamente, são chamados de eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos. Embora não seja possível que os 2 eventos disjuntos ocorram simultaneamente, é possível que nenhum deles ocorra.

Quando 2 eventos (A e B) são mutuamente exclusivos (ou disjuntos), a probabilidade de ocorrência de A ou B é a soma da probabilidade de cada evento.

Esta regra pode ser aplicada a qualquer número de eventos disjuntos. Por exemplo, para encontrar a probabilidade de ocorrência de A, B ou C, você pode simplesmente adicionar P(A) + P(B) + P(C), supondo que todos os 3 sejam eventos completamente mutuamente exclusivos.

Exemplo 1:

• Você chega a um semáforo. Há 35% de probabilidade de você se aproximar da luz enquanto ela estiver verde, 5% de probabilidade de você se aproximar da luz enquanto ela estiver amarela e 60% de probabilidade de você se aproximar da luz enquanto ela estiver vermelha. Quando você para num semáforo, qual é a chance de o semáforo estar verde ou amarelo?
• Resposta: Como a luz não pode estar verde e amarela ao mesmo tempo neste exemplo, existem apenas 3 possibilidades: P(verde) pode ser simplesmente adicionada a P(amarelo), que é 0,35 + 0,05 = 0,4. Assim, a chance de a luz ser verde ou amarela é de 40%.

Exemplo 2:

• Você tem um baralho de cartas padrão. Qual é a probabilidade de tirar uma carta de paus, espadas ou copas?
• Resposta: A carta que você tirar terá apenas 1 dos 4 naipes de cada vez; assim, estes são todos eventos mutuamente exclusivos. Portanto, P(paus) + P(espadas) + P(copas) = 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75. Há uma probabilidade de 75% de você tirar um paus, espadas ou copas.

A regra de multiplicação para eventos independentes

Os eventos são independentes quando a probabilidade de um não afeta a do outro (Nota: eventos mutuamente exclusivos não podem ser eventos independentes (Exemplo 2)). A probabilidade de 2 eventos independentes ocorrerem é igual ao produto das probabilidades dos eventos A e B.

Exemplo 1:

• O evento A é a probabilidade de tirar uma carta de paus de um baralho de cartas, que é 13/52, ou 0,25. O evento B é a probabilidade de tirar uma carta com uma figura, que é 12/52, ou 0,23. Qual é a probabilidade de tirar uma carta de paus que também é uma carta com uma figura?
• Resposta: Estes 2 eventos são independentes um do outro (a probabilidade de tirar uma carta de paus não tem efeito sobre a probabilidade de tirar uma carta com uma figura); assim, as probabilidades podem simplesmente ser multiplicadas. 0,25 x 0,23 = 0,057 ou 5,7% (que é 3/52, representando o Rei, a Dama e o Valete de Paus).

Exemplo 2: Eventos mutuamente exclusivos não podem ser independentes uns dos outros

• Eventos mutuamente exclusivos são 2 eventos que não podem acontecer ao mesmo tempo: por exemplo, um semáforo não pode estar vermelho e verde ao mesmo tempo. Se a luz estiver verde, não pode estar também vermelha.
• Eventos independentes podem acontecer simultaneamente: por exemplo, uma carta pode ser tanto de paus quanto uma carta com figura.

Regra geral de adição

A probabilidade de acontecer um evento (A), ou outro evento (B), ou ambos é dada pela equação:

Exemplo: Você tem uma pilha de dinheiro com 4 notas: $ 1, $ 5, $ 10 e $ 20. O evento A representa tirar uma nota ímpar; o evento B representa tirar uma nota entre $ 4 e $ 12. Qual é a probabilidade de acontecer A ou B?

Resposta: Observe que $5 está em ambos os eventos; portanto, não são mutuamente exclusivos ou disjuntos. Assim, não podemos simplesmente somar P(A) + P(B), pois teremos contado a probabilidade de ser tirada uma nota de $5 (P($5)) duas vezes. Devemos, portanto, subtrair P($5) para que seja contada apenas uma vez no final. Se as chances de tirar cada nota são as mesmas, então a probabilidade de tirar cada nota individual é de 1 em 4, ou 25%.

Então, para responder à nossa pergunta, primeiro podemos calcular P(A), que é igual a P($1) + P($5) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Da mesma forma, P(B) = P($5) + P($10) = 0,25 + 0,25 = 0,5. Sabemos que P($5) por si só é 0,25. Então, no geral, 0,5 + 0,5 ‒ 0,25 = 0,75, o que representa 3 das 4 notas (as notas de $ 1, $ 5 e $ 10, que estão todas incluídas no evento A ou B).

Armadilhas

• Cuidado com probabilidades que somadas não são 1.
• Não some probabilidades de eventos se eles não forem mutuamente exclusivos.
• Não multiplique probabilidades de eventos se eles não forem independentes.
• Eventos mutuamente exclusivos não podem ser independentes.
• Não use a LGN para descrever eventos a curto prazo.
• Considere se é razoável supor que os eventos são independentes.

Probabilidade Condicionada

• A probabilidade condicionada do evento B é a probabilidade de que B ocorra sabendo que o evento A já ocorreu.
• Representada como P(B|A)
• A probabilidade condicionada de eventos independentes é simplesmente a probabilidade do evento B, significando P(B|A) = P(B).
  • Exemplo: Uma pessoa deseja tirar duas cartas de paus seguidas de um baralho padrão. Assumindo que sua primeira carta é de paus, qual é a probabilidade de a 2ª carta também ser de paus?
  • Resposta: Cada sorteio é independente do último, então a probabilidade condicionada, neste caso, pode ser descrita como: P(tirar uma 2ª carta de paus|1ª carta é de paus). Como há 13 cartas em cada naipe, e 1 já foi tirada (“evento A”), restam 12 cartas de paus de um total de 51 cartas. Portanto, a resposta é 12/51 ou 23,5%.
• A probabilidade condicionada de eventos que não são independentes representa a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem, significando P(B|A) = P(A)*P(B).
  • Exemplo: Um aluno que se inscreve na faculdade tem 80% de probabilidade de ser aceite. O alojamento no campus está disponível para 60% dos alunos aceites. Qual é a probabilidade de ser aceite e de conseguir moradia no campus?
  • Resposta: 0,8 x 0,6 = 0,48 ou 48%
• A probabilidade condicionada de mais de 2 eventos requer a consideração de todos os eventos anteriores.
  • Exemplo: O mesmo aluno acima sabe que dos alunos que recebem alojamento no campus, 90% têm pelo menos 1 colega de quarto. Qual é a probabilidade desse aluno ser aceite, conseguir alojamento no campus e ter pelo menos 1 colega de quarto?
  • Resposta: 0,8 x 0,6 x 0,9 = 0,432 ou 43,2%