Medidas de Tendência Central e Dispersão

Descrição Geral

Definição

Medidas de tendência central são valores únicos que tentam descrever um conjunto de dados identificando o valor central ou “típico” desse conjunto de dados.

• Coloquialmente descritas como “médias”
• Medidas mais comuns:
  • Média
  • Mediana
  • Moda

Distribuição de dados e medidas de dispersão

• Em qualquer conjunto de dados, os dados são distribuídos num determinado intervalo.
• Com base nessa distribuição, pode se determinar o quão próximo a maioria dos dados está da média ou quão dispersos estão os dados; esta dispersão pode ser medida de várias maneiras, incluindo:
  • Percentis
  • Desvio padrão
• Normalmente, certos pontos de dados são mais comuns no conjunto de dados (aqueles próximos da média), enquanto outros são raros (ou seja, discrepantes ou outliers).
• A distribuição destes pontos de dados pode ser classificada como:
  • Normal
  • Não normal
• As distribuições normais têm certas características que podem ajudar os médicos a determinar quão “anormal” é um determinado achado: Por exemplo, um determinado resultado laboratorial está dentro da faixa de “normal” ou o achado sugere um estado de doença?

Média, Mediana e Moda

Média

Definição:

A média é a soma de todas as medições num conjunto de dados dividida pelo número de medições nesse conjunto de dados.

• A média aritmética de todos os valores observados
• Pode ser incorporada em análises estatísticas mais complexas
• A mais afetada por outliers
• A média de uma amostra aleatória é uma estimativa imparcial da população de onde veio.
• A média é a expetativa matemática e pode nem estar presente numa amostra (em oposição à moda ou à mediana).

Equação:

$$ Média = \frac{Soma\ de\ todos\ os\ valores\ no\ conjunto\ de\ dados}{Número\ total\ de\ valores\ no\ conjunto\ de\ dados} $$ $$ Média = \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+…+x_{n}}{n} $$

Exemplo:

Encontre a média do seguinte conjunto de dados: 1, 1, 1, 3, 5, 5, 7, 19.

Resposta: Existem 8 números neste conjunto de dados. Para calcular a média, some todos os números e divida por 8:

$$ Média = \frac{1+1+1+3+5+5+7+19}{8}=\frac{42}{8}=5,25 $$

Mediana

Definição:

Depois de organizar os dados do menor para o maior, a mediana é o valor do meio, separando a metade inferior da metade superior do conjunto de dados.

• Serve como o ponto central de divisão dos dados
• Não se presta a inferência estatística mais complexa
• Se o número de valores na amostra for par, então a mediana é a média dos 2 números no meio.
• Mais afetada por outliers do que a moda, mas menos do que a média
• A mediana e a moda são as únicas medidas de tendência central que podem ser usadas para dados ordinais.

Equação:

Para encontrar a mediana, organize os valores do menor para o maior e, de seguida, use a seguinte equação para determinar qual a “posição” na ordem que representa a mediana:

$$ Mediana = \left \{ \frac{(n+1)}{2} \right \} $$

onde n = o número de valores no conjunto de dados.

Exemplo:

Encontre a mediana do seguinte conjunto de dados: 1, 5, 1, 19, 3, 1, 7, 5.

Resposta: Existem 8 números neste conjunto de dados. Para encontrar a mediana, primeiro organize os números por ordem: 1, 1, 1, 3, 5, 5, 7, 19. De seguida, determine qual a “posição” que representa a mediana. Para fazer isto, use a fórmula ( n + 1) / 2. Existem 8 números neste conjunto de dados, então n = 8. Portanto, a mediana será: (8 + 1) / 2 = 4,5. A mediana está entre o 4º e o 5º números, que são 3 e 5 (visualmente: 1, 1, 1, 3, 5 , 5, 7, 19). Portanto, a mediana neste conjunto de dados é 4.

Moda

Definição:

A moda é o valor que ocorre com mais frequência no conjunto de dados.

• Para encontrar a moda, complete uma tabela de frequências para determinar qual o valor que ocorre com mais frequência no conjunto de dados (veja o exemplo abaixo).
• Mais útil para análise qualitativa (não numérica) do que para análise estatística
• Uma distribuição pode ter uma moda em > 1 valor.
• A única tendência central que pode ser usada com dados nominais
• Menos afetada por outliers
• Não pode ser obtida por equações matemáticas

Exemplo:

Encontre a moda do seguinte conjunto de dados: 1, 5, 1, 19, 3, 1, 7, 5.

Resposta: Identifique o número que aparece com mais frequência. Isto pode ser feito completando uma tabela de frequências:

Tabela: Tabela de frequências

Ponto de dados	Frequência (com que frequência o ponto de dados ocorre na amostra)
1	3
3	1
5	2
7	1
19	1

Mnemónica:

MOde is the value that is in the set MOst often (a moda é o valor que está no conjunto mais frequentemente).

Resumo

Tabela: Resumo da média, mediana e moda

Tipo	Descrição	Exemplo	Resultado
Média	Soma total de números dividida pelo número de valores	(8 + 4 + 10 + 4 + 4 + 5 + 4 + 5 + 6) / 9	5,5
Mediana	Valor médio que separa a metade superior da metade inferior	4, 4, 4, 4, 5 , 5, 6, 8, 10	5
Moda	Número mais frequente	4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 10	4

Medidas de Dispersão: Percentis e Desvios Padrão

A dispersão é o tamanho da distribuição de valores num conjunto de dados. Várias medidas de dispersão incluem um intervalo, quantis (por exemplo, quartis ou percentis) e desvios padrão.

Com base em quantis

• Um quantil divide um conjunto de dados em proporções iguais e representa a proporção de dados nesse ponto ou abaixo dele; quantis especiais são:
  • Quartis: O conjunto de dados é dividido em 4 quartos.
  • Quintis: O conjunto de dados é dividido em 5 secções.
  • Percentis: O conjunto de dados é dividido em 100 secções.
• Por exemplo:
  • O percentil 50 é a mediana.
  • O percentil 75 é o ponto abaixo do qual são encontrados 75% dos valores no seu conjunto de dados.
  • O percentil 25 é o ponto abaixo do qual são encontrados 25% dos valores em seu conjunto de dados.
• O conjunto de dados entre os percentis 25 e 75 (o 1º e o 3º quartis) é conhecido como intervalo interquartil.
• Os quantis podem ser aplicados a qualquer conjunto de dados contínuo.
• Os usos incluem:
  • Clínico: curvas de crescimento
  • Investigação: gráficos de caixa (exibições gráficas de dados que demonstram o intervalo de resultados numéricos observados num estudo)

Com base na média: desvios padrão

Definição: O desvio padrão (DP) é uma medida de quão longe cada valor observado está da média num conjunto de dados.

• O desvio padrão é normalmente abreviado como DP (ou SD, pela sigla em inglês de standard deviation), ou pode ser representado pela letra grega minúscula sigma (σ).
• Pode ser usado quando a distribuição dos dados é aproximadamente normal, representando uma curva de sino
• Um DP baixo significa que os dados estão agrupados em redor da média.
• Um DP elevado significa que os dados estão espalhados por um intervalo de valores mais alargado.
• Usado para determinar se um determinado ponto de dados é “padrão/esperado” ou “incomum/inesperado”:
  • Quantos mais DP um ponto de dados se afasta da média, mais “incomum” é esse ponto de dados.
  • Pode ajudar a distinguir se um resultado está dentro da “variação esperada” ou é mais um outlier
• Os desvios padrão podem ser apreciados visualmente como a área sob a curva (AUC, pela sigla em inglês):
  • 1σ = aproximadamente 34% da AUC = aproximadamente 68% dos resultados estão dentro de 1 DP da média
  • 2σ = aproximadamente 48% da AUC = aproximadamente 95% dos resultados estão dentro de 2 DP da média
  • 3σ = aproximadamente 49,8% da AUC = aproximadamente 99,7% dos resultados estão dentro de 3 DP da média

Equação:

Matematicamente, o DP pode ser calculado usando a seguinte equação:

$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (\chi _{i}-\mu )^{2}}{N}} $$

σ = desvio padrão da população
Ν = tamanho da população
χ ᵢ = cada valor da população
µ = média da população

Cálculo (usando a equação):

1. Encontre a que distância cada valor está da média e, de seguida, eleve esse valor ao quadrado. (Nota: Este é o quadrado da variância.)
2. Encontre a soma desses valores elevados ao quadrado.
3. Divida essa soma pelo número total de valores no conjunto de dados.
4. Calcule a raiz quadrada desse número para encontrar o DP.

Distribuição de Dados

A distribuição de dados descreve como os seus dados se agrupam (ou não se agrupam). Os dados tendem a agrupar-se em determinados padrões, conhecidos como padrões de distribuição. Existe um padrão de distribuição “normal” e vários padrões não normais. São usados testes estatísticos diferentes para padrões de distribuição diferentes.

Distribuição de dados

As distribuições normais diferem de acordo com a sua média e variância, mas partilham as seguintes características:

• Forma de “curva de sino” simétrica clássica:
  • Todas as medidas de tendência central são iguais (média = mediana = moda).
  • 50% dos valores são inferiores à média; 50% dos valores são superiores à média.
• Segue o teorema do limite central, que funciona da seguinte forma:
  • Pegue numa amostra da população e calcule a média; de seguida, coloque essa amostra de volta na população, pegue numa nova amostra e calcule a média; faça isso repetidamente.
  • Algumas médias serão muito comuns, representando a verdadeira média da população. Outras médias serão muito incomuns; estas estão mais distantes da verdadeira média da população.
  • Se você representar graficamente a frequência de cada média obtida, gerará a forma clássica da curva normal.
• Todas as distribuições normais têm a mesma forma porque têm a mesma distribuição de dados:
  • Cerca de 68% dos valores estão dentro de 1 DP da média.
  • 95% dos dados estão dentro de 2 DP da média.
  • 99,7% dos dados estão dentro de 3 DP da média.
• A área sob a curva representa a probabilidade de obter um determinado valor, então a área total sob a curva = 1.
• Coisas que tendem a seguir distribuições normais:
  • Alturas, pesos e PA das pessoas
  • Resultados em exames
  • Tamanhos de objetos produzidos por máquinas

Distribuição não normal

Muitos processos seguem uma distribuição não normal, que se pode dever a variações naturais ou a erros nos dados.

Distribuições comuns:

• Assimétrica:
  • Assimetria à direita (ou positivamente assimétrica):
    • A cauda estende-se para a direita.
    • Média > mediana > moda
  • Assimetria à esquerda (ou negativamente assimétrica):
    • A cauda estende-se para a esquerda.
    • Moda > mediana > média
  • Nota: A cauda pode atuar como outliers e afetar adversamente os testes estatísticos.
• Bimodal:
  • Uma distribuição com 2 “picos” (representando as 2 modas nos dados)
  • Sugere 2 populações diferentes
• Exponencial:
  • Existem poucos valores muito grandes e muitos outros valores pequenos.
  • Muitas vezes lida com a quantidade de tempo até que ocorra um evento específico, por exemplo:
    • Quantos meses dura uma bateria de carro até morrer
    • Decaimento radioativo

Razões pelas quais os dados podem ter uma distribuição não normal:

• Muitos conjuntos de dados ajustam-se naturalmente a um modelo não normal (por exemplo, o crescimento de bactérias segue uma distribuição exponencial)
• Os métodos de colheita de dados ou outros métodos podem ter erros.
• Os outliers podem fazer com que os dados fiquem distorcidos/assimétricos.
• Pode combinar-se múltiplas distribuições, dando a aparência de uma distribuição bimodal ou multimodal.
• Dados insuficientes podem causar uma distribuição dispersa.